В. Маркуц   канд. техн. наук

© из книги  В. Маркуц 

 «Транспортные потоки»

5.2 Основные теоретические положения  метода имитационного моделирования движения транспортных потоков

•     Под имитацией, по определению Т. Нейлора, понимается численный метод проведения на цифровых вычислительных машинах экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение систем в течение продолжительных периодов времени. Движение автомобилей по дороге представляет собой вероятностный процесс, который можно описать с помощью стохастических моделей. Математическая модель реального процесса – это совокупность соотношений, которые связывают характеристики процесса функционирования системы с исходной информацией и начальными условиями.

Впервые математическая теория транспортных потоков была предложена в работе известного американского специалиста Ф. Хейта, где установлено соотношение между положениями теории транспортных потоков и теорией вероятности, а также обобщённые математические модели движения транспорта [64]. В известной монографии Д. Дрю [8] приведены основные математические модели движения транспортных потоков, введено понятие времени ожидания на участке въезда на автомагистраль в зоне слияния транспортных потоков и дано решение в интегральной форме. Дальнейшее развитие теория транспортных потоков получила в работах известных Российских учёных В.Ф. Бабкова, В.В. Сильянова, Е.М. Лобанова, где разработаны теоретические основы нового направления изучения транспортных потоков – унифицированное имитационное моделирование на ЭВМ движения транспортного потока как сложной системы.

Прогнозирование режимов движения транспортных потоков может осуществляться на основе информационной модели восприятия дорожных условий и учётом стохастического характера процесса движения. Алгоритм прогнозирования содержит в себе элементы статистического моделирования, информационные математические модели, а также динамические модели движения.

Многие из вышеперечисленных методов исследования транспортных потоков представляют собой сложные унифицированные имитационные модели, весьма трудные для понимания и малопригодные для решения практических задач. Поэтому в нашей работе представлены более простые математические модели на основе метода статистических испытаний (метод Монте-Карло), но как показали полученные результаты, вполне удовлетворительные для решения различных практических задач.

Сущность метода статистического моделирования или метода статистических испытаний (его также называют методом Монте-Карло), состоит в построении для исследуемого процесса моделирующего алгоритма, имитирующего поведение элементов сложной системы и взаимодействия между ними [62]. Одно такое воспроизведение (попытка) функционирования системы называют реализацией или испытанием, которые представляют собой, как бы, срез во времени. После каждого испытания регистрируют совокупность параметров, характеризующих случайный исход реализации. В результате многократного повторения реализаций получают статистический материал, позволяющий выявить устойчивые закономерности процесса функционирования системы. Чем больше таких реализаций, тем точнее можно определить конечный результат [18]. Результаты моделирования, полученные при воспроизведении единственной реализации процесса в силу действия случайных факторов будут реализациями случайных величин и не могут объективно характеризовать процесс. Поэтому искомые величины при исследовании процессов методом статистического моделирования необходимо определять как статистические оценки по данным большого числа реализаций процесса.

 Основой метода имитационного моделирования движения транспортных потоков явилось положение об экспоненциальном законе распределения интервалов между движущимися автомобилями в этих потоках, впоследствии подтверждённое экспериментальными данными. Большим преимуществом экспоненциального распределения является то, что оно однопараметрическое. Им чрезвычайно удобно пользоваться, особенно при проектировании элементов автомобильных дорог, когда нам не известен действительный закон распределения. Согласно этому положению функция распределения интервалов в транспортном потоке:

Так как  F(τ) – вероятностная функция распределения интервалов, то она может принимать любые  значения в пределах от 0 до 1 (рис.5.1). Из определения функции распределения следует, что вероятность появления интервалов в пределах от τ_min до Δt, то есть меньших Δt равна F(Δt). Тогда вероятность появления интервалов больших Δt равна 1- F(Δt). Положим, что F(Δt) равно 0.7. Тогда вероятность появления интервалов в пределах от Δt до τ_max, то есть больших Δt равна 0.3. Если М – это интенсивность движения в единицу времени, то количество интервалов меньших Δt равно:

N(τ < Δt)  = M (1- e^-λΔt) …………………………………..(5.7),

количество интервалов больших Δt равно:

 N(τ > Δt)  =  M e^-λΔt     ……………………………………..(5.8).

При той же самой интенсивности движения на главном направлении 720 авт/час, налево могут повернуть 254 автомобиля, принимая в качестве граничного интервала Δt = 8.2с, направо могут повернуть 435 автомобилей, принимая в качестве граничного интервала Δt = 5.5с.

К примеру, при интенсивности движения на главном направлении 720 авт/час, принимая в качестве граничного интервала Δt = 8.2с, количество интервалов больших Δt составляет:

N(τ > Δt) = 720е^{- 8.2 (720/3600)}  = 140. Количество интервалов меньших Δt составляет:

N(τ < Δt) = 720 (1 - е^{-8.2 (720/3600)} ) = 580. Сумма всех интервалов, как больших Δt и как меньших Δt равна числу автомобилей и составляет 140+580 = 720.

Сумма всех интервалов больших и меньших Δt составляет: M (1- e^-λΔt)  + M e^-λΔt  = М. Если М равно 100, то количество интервалов меньших Δt составляет 70, а количество интервалов больших Δt составляет 30. Полученные формулы позволяют осуществлять проверку моделирующего алгоритма движения транспортных потоков.

Такой алгоритм был составлен и реализован в программе OPRS3 на языке программирования Turbo Pascal 7.0.  Интенсивность движения на главном направлении принята 720 авт/час, граничный интервал Δt = 8.2с. В часовом интервале времени поведено два независимых расчёта, в каждом расчёте 30 реализаций. Результаты показаны в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Проверка моделирующего алгоритма для определения числа интервалов в транспортном потоке

 Здесь:

 N(τ > Δt) - количество интервалов больших Δt;

 N(τ < Δt) - количество интервалов меньших Δt;

 σN(τ > Δt) - среднее квадратическое отклонение числа интервалов больших Δt; σ   N(τ < Δt) - среднее квадратическое отклонение числа интервалов меньших Δt;        ∑N(τ > Δt) – сумма (общая длительность) интервалов больших Δt;

 σ∑N(τ > Δt) - среднее квадратическое отклонение суммы (общей длительности) интервалов больших Δt;

 ∑N(τ < Δt) - сумма (общая длительность) интервалов меньших Δt;

 σ∑N(τ < Δt) - среднее квадратическое отклонение суммы (общей длительности) интервалов меньших Δt;

 ∑N(τ) – сумма (общее число) интервалов больших и меньших Δt, зафиксированное программой за часовой интервал времени;

 ∑∑N(τ) – фактическое время, зафиксированное программой, движения транспортного потока интенсивностью 720 авт/час за часовой интервал времени, то есть сумма (общая длительность) интервалов больших и меньших Δt;

 Nt2 – максимально возможная пропускная способность линии слияния; определяется как частное от деления суммарного времени (общая длительность) интервалов больших граничного ∑N(τ > Δt), на величину граничного интервала Δt;

 tz – среднее время задержки при поиске приемлемого (граничного) интервала, определяется как частное от деления суммы (общая длительность) интервалов меньших граничного ∑N(τ < Δt) на количество интервалов меньших граничного N(τ < Δt).

 Обсуждение результатов.

Как видно из таблицы, число интервалов  в транспортном потоке интенсивностью 720 авт/час больших 8.2 секунды программа насчитала в обоих вариантах расчётов 140, то есть полностью соответствует теоретически возможному значению, определяемого формулой (5.8). Величины интервалов  в этих 140 значениях варьируют от минимально возможного значения 8.2 секунды до максимальной величины  - 23 сек., что почти укладывается в две сигмы. А вот количество интервалов меньших 8.2 секунды программа насчитала соответственно 599 и 595, что несколько больше теоретически возможному значению - 580, определяемого формулой (5.7). И это вполне закономерно, так как программа использует вероятностные законы распределения интервалов  в транспортном потоке. Поэтому и сумма (общее число) интервалов больших и меньших 8.2 секунды программа насчитала за часовой интервал времени соответственно 739 и 735 вместо 720. Соответственно этому и фактическое время, зафиксированное программой, движения транспортного потока интенсивностью 720 авт/час за часовой интервал времени составило не 3600 сек., а 3591 сек.

Сумма (общая длительность) интервалов большихграничного (Δt) 8.2 секунд в часовом интервале времени составила соответственно 1802 и 1797 секунд. Если разделить их на величину граничногоинтервала8.2 сек., то мы получим максимально возможную пропускную способность линии слияния – 220 и 216 соответственно.  Напомним, что по формуле Е.М.Лобанова получена величина 254. А такое даже теоретически невозможно. Время задержки при поиске приемлемого (граничного) интервала составило соответственно 12.7 и 12.8 сек., что практически совпадает с теоретически возможным значением – 12.6 сек, определяемым формулой главы 3.3 (Определение длины участка поиска приемлемого интервала).

Поскольку основой метода явилось положение об экспоненциальном законе распределения интервалов между движущимися автомобилями, следует проверить это положение натурными экспериментами.